अनंत अनुक्रम का रहस्य: अगली तीन संख्याएँ खोजे

अनंत अनुक्रम का रहस्य: अगली तीन संख्याएँ खोजे

गणितीय पहेलियों की दुनिया में कुछ सवाल ऐसे होते हैं जो हमें सोचने पर मजबूर कर देते हैं। आज हम एक ऐसी ही दिलचस्प पहेली की बात करेंगे:

110, 20, 12, 11, 10, 6…

यह एक अनंत अनुक्रम (INFINITE SEQUENCE) है, जिसका एक निश्चित पैटर्न है। सवाल यह है कि इस अनुक्रम की अगली तीन संख्याएँ क्या होंगी?

अगर आपने इस अनुक्रम को ध्यान से देखा है, तो हो सकता है कि आप सोच रहे हों कि यह सामान्य दशमलव (BASE 10) प्रणाली में नहीं है। हाँ, आपने सही सोचा! इस अनुक्रम को हल करने के लिए हमें यह समझना होगा कि यह संख्या दशमलव प्रणाली (DECIMAL SYSTEM) में नहीं है।

आधार प्रणाली (BASE SYSTEM)

इस अनुक्रम की संख्याएँ अलग-अलग आधार प्रणालियों (BASE SYSTEMS) में 6 को दर्शाती हैं। आइए इसे विस्तार से समझते हैं।

हम सामान्यत: जिन संख्याओं का उपयोग करते हैं, वे दशमलव (BASE 10) प्रणाली में होती हैं, जिसमें कुल 10 अंक (0 से 9) होते हैं। लेकिन गणित में कई अलग-अलग आधार प्रणालियाँ होती हैं, जैसे द्विआधारी (BASE 2), तृतीय (BASE 3), चतुर्थ (BASE 4) आदि। इस अनुक्रम में संख्याएँ अलग-अलग आधार प्रणाली में 6 को कैसे प्रदर्शित करती हैं, यह जानना ही इस पहेली का उत्तर है।

आधार प्रणाली में 6 का प्रतिनिधित्व

अगर हम देखें कि 6 को विभिन्न आधार प्रणालियों में कैसे प्रदर्शित किया जाता है, तो अनुक्रम कुछ इस प्रकार बनता है:

द्विआधारी प्रणाली (BASE 2): 6 को BASE 2 में 110 के रूप में लिखा जाता है।
तृतीय प्रणाली (BASE 3): 6 को BASE 3 में 20 के रूप में दर्शाया जाता है।
चतुर्थ प्रणाली (BASE 4): 6 को BASE 4 में 12 के रूप में लिखा जाता है।
पंचम प्रणाली (BASE 5): 6 को BASE 5 में 11 के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।
षष्टम प्रणाली (BASE 6): 6 को BASE 6 में 10 के रूप में लिखा जाता है।
सप्तम प्रणाली (BASE 7): 6 को BASE 7 में बस 6 के रूप में ही लिखा जाता है।

अब, जब आधार प्रणाली 7 या इससे बड़ी हो जाती है, तब 6 हमेशा 6 के रूप में ही लिखा जाता है, चाहे हम BASE 7, BASE 8, BASE 9, या कोई भी बड़ी आधार प्रणाली लें।

अगली तीन संख्याएँ

तो, जैसा कि हमने देखा, 6 को किसी भी BASE 7 और इससे बड़ी प्रणाली में हमेशा 6 के रूप में ही लिखा जाता है। इसका मतलब है कि अनुक्रम में अगली तीन संख्याएँ भी 6 होंगी।

अतः, इस अनुक्रम की अगली तीन संख्याएँ हैं: 6, 6, 6

पूरा अनुक्रम

अब हम अनुक्रम को एक बार फिर से देख सकते हैं:

110, 20, 12, 11, 10, 6, 6, 6…

यह अनंत तक इसी तरह चलता रहेगा। जब भी आधार प्रणाली 7 या उससे अधिक हो जाती है, तो 6 को बस 6 के रूप में लिखा जाता है।

निष्कर्ष

यह पहेली गणित में आधार प्रणाली (BASE SYSTEM) की एक दिलचस्प झलक प्रस्तुत करती है। इस अनुक्रम को समझने के लिए हमें विभिन्न आधार प्रणालियों में संख्याओं को कैसे लिखा जाता है, यह समझना आवश्यक था।

गणित का यह पहलू हमें यह भी सिखाता है कि हर संख्या प्रणाली में संख्याओं की व्याख्या अलग-अलग हो सकती है, और कभी-कभी किसी जटिल दिखने वाली समस्या का हल बेहद सरल हो सकता है, बस हमें इसे सही नजरिए से देखना आना चाहिए।

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