ग्रांडी की सीरीज: एक अनोखी गणितीय पहेली
गणित की दुनिया में कई ऐसे सवाल होते हैं जो सरल दिखते हैं लेकिन जितना गहराई से हम उन्हें समझते हैं, वे उतने ही जटिल और दिलचस्प हो जाते हैं। ऐसा ही एक सवाल है:
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
यह सीरीज सुनने में बहुत सरल लगती है, लेकिन इसे हल करने में दुनिया के महानतम गणितज्ञ भी उलझन में पड़ गए। यह सवाल 18वीं सदी के गणितज्ञों को इतना चुनौतीपूर्ण लगा कि इसका सही उत्तर जानने के लिए कई सिद्धांत बनाए गए। आइए, इस गणितीय पहेली को सरल भाषा में समझते हैं और जानते हैं कि आखिरकार इसका उत्तर क्या हो सकता है।
सीरीज को समझना
पहले एक छोटा सा सवाल लेते हैं: 1 – 1 क्या होता है? इसका उत्तर साफ है: 0। अब मान लीजिए हम इसमें फिर से 1 जोड़ते हैं, तो जवाब होगा 1। लेकिन अगर हम फिर से 1 घटा दें, तो हम वापस 0 पर पहुंच जाते हैं। यदि हम इसी प्रक्रिया को अनंत बार दोहराएं, तो क्या होगा?
इस प्रकार की सीरीज को ग्रांडी की सीरीज कहा जाता है, जिसका नाम इटालियन गणितज्ञ लुइगी ग्रांडी (Luigi Guido Grandi) के नाम पर रखा गया है। ग्रांडी ने इस सीरीज की गहराई से जांच की और इसे 1703 में प्रस्तुत किया।
सीरीज का संभावित उत्तर: कई नतीजे
अब सवाल उठता है कि इस सीरीज का उत्तर क्या होगा? चार संभावित उत्तर हो सकते हैं:
A: 0
B. 1
C. ½
D. यह किसी भी निश्चित संख्या के बराबर नहीं है
आइए, हम इन संभावनाओं को एक-एक करके समझते हैं।
विकल्प A: 0
अगर हम इस सीरीज को ऐसे लिखें:
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …
तो यह स्पष्ट होता है कि हर (1 – 1) जोड़ी मिलकर 0 बनेगी। परिणामस्वरूप, पूरी सीरीज सिर्फ 0 + 0 + 0 + … हो जाती है, जिसका उत्तर 0 है।
विकल्प B: 1
लेकिन अगर हम ब्रैकेट्स को थोड़ा बदल दें, जैसे:
1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + …
इस प्रकार, सारी जोड़ियां फिर से 0 बन जाएंगी, लेकिन इस बार हमारे पास शुरुआत में एक अतिरिक्त 1 होगा। इससे सीरीज का उत्तर 1 आता है।
विकल्प C: ½
यहां तक कि कुछ गणितज्ञों का मानना था कि इस सीरीज का उत्तर ½ हो सकता है। लुइगी ग्रांडी ने इसका समर्थन एक उदाहरण के साथ किया। उन्होंने कहा कि अगर दो भाई एक ही रत्न को हर साल बारी-बारी से अपने संग्रहालय में रखते हैं, तो दोनों के पास उस रत्न पर आधा-आधा स्वामित्व होगा। इसलिए, उनके अनुसार, इस सीरीज का उत्तर ½ हो सकता है।
विकल्प D: कोई निश्चित उत्तर नहीं
आधुनिक गणित के अनुसार, इस प्रकार की सीरीज, जिसमें आंशिक योग (PARTIAL SUM) शून्य और एक के बीच बार-बार बदलते रहते हैं, किसी भी निश्चित संख्या की ओर नहीं बढ़ते। इसलिए, कई गणितज्ञों का मानना है कि यह सीरीज किसी भी निश्चित उत्तर तक नहीं पहुंचती, और इसका कोई निश्चित योग नहीं होता।
ग्रांडी की सीरीज और गणितीय दृष्टिकोण
इस सीरीज की असंगतियों ने गणितज्ञों को यह सोचने पर मजबूर कर दिया कि अनंत सीरीज कैसे काम करती हैं। 19वीं सदी में, गणितज्ञों ने यह सिद्धांत स्थापित किया कि किसी भी अनंत सीरीज का योग तब तक मान्य नहीं होता जब तक कि उसके आंशिक योग किसी निश्चित संख्या की ओर न बढ़ें। ग्रांडी की सीरीज के मामले में, इसके आंशिक योग शून्य और एक के बीच बार-बार बदलते रहते हैं, इसलिए इसका कोई निश्चित योग नहीं है।
हालांकि, वैकल्पिक तरीके भी हैं, जैसे कि सिजेरो समेशन (CESARO SUMMATION, also known as the CESARO MEAN or CESARO LIMIT)। इस तरीके में आंशिक योगों के औसत का उपयोग किया जाता है। यदि इस विधि का उपयोग ग्रांडी की सीरीज पर किया जाए, तो इसका उत्तर ½ आता है।
निष्कर्ष
ग्रांडी की सीरीज एक गणितीय पहेली है जो यह दिखाती है कि अनंत के साथ काम करना कितना जटिल हो सकता है। आधुनिक गणित के अनुसार, इस सीरीज का कोई निश्चित उत्तर नहीं है, लेकिन वैकल्पिक विधियों से इसका उत्तर ½ भी हो सकता है। यह पहेली गणित में मानव सोच और सिद्धांतों के महत्व को भी रेखांकित करती है, क्योंकि गणितीय परिभाषाएं अक्सर हमें यह तय करने में मदद करती हैं कि कौन सा उत्तर सही है।
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